Una conjetura planteada por Ronald Graham en 1971 quedó resuelta tras 55 años de intentos. La demostración muestra que, con primos suficientemente grandes, sí puede reordenarse una lista de enteros distintos de cero para que sus sumas parciales no se repitan en aritmética modular.

El avance llegó en cuatro trabajos que combinaron reordenamientos aleatorios, combinatoria, probabilidad y una técnica de anti-concentración. El cierre del caso faltante lo firmaron Lisa Sauermann, de la Universidad de Bonn, y Huy Tuan Pham, de la Universidad de Chicago, en febrero de 2026.

La pregunta de Graham y el problema de las sumas repetidas

La conjetura pide ordenar enteros distintos de cero de modo que la suma de los dos primeros, luego la de los tres primeros y así sucesivamente, produzca resultados diferentes. En aritmética modular, sin embargo, los números vuelven a repetirse al alcanzar cierto módulo, lo que complica el ordenamiento.

Graham formuló el problema para un primo p: en ese sistema, múltiplos de p equivalen a cero. Por eso, una secuencia que parece segura en los enteros comunes puede terminar repitiendo una suma cuando se cuenta “alrededor del reloj”.

La idea también se relaciona con el malabarismo, una afición que Graham cultivó y que ayuda a imaginar por qué importa evitar repeticiones. La comparación, sin embargo, solo sirve como imagen: la prueba matemática se construye con sumas, probabilidades y reordenamientos.

Cuatro avances para cubrir todos los tamaños de conjuntos

El problema se resolvió por partes según el tamaño del conjunto frente a p. Alp Müyesser, de la Universidad de Oxford, y Alexey Pokrovskiy, del University College London, trabajaron con conjuntos que contienen casi todos los números posibles y usaron una permutación aleatoria con elementos reservados para corregir sumas de cero.

Por otra vía, Noah Kravitz y Benjamin Bedert, ambos de Oxford, estudiaron conjuntos pequeños frente al primo. Su demostración se publicó en septiembre de 2024. Después, otros investigadores extendieron el enfoque a casos más amplios en un artículo de agosto de 2025.

El hueco restante era el de los conjuntos intermedios, aproximadamente la mitad de los números disponibles. Sauermann y Pham trabajaron ese punto durante una visita de tres días y recurrieron a un análisis basado en anti-concentración y transformadas de Fourier para mostrar que la probabilidad de fallos era menor que 100%.

El límite que falta para cerrar el problema completo

Sauermann y Pham publicaron una demostración de 27 páginas en febrero de 2026. Según el relato citado, su método permite reorganizar un ordenamiento aleatorio para eliminar los eventos problemáticos en al menos 90% de los casos.

Con esos resultados, los cuatro trabajos cubren conjuntos de todos los tamaños y prueban la conjetura para primos suficientemente grandes. La fuente señala que no se ha calculado el valor exacto a partir del cual el resultado queda garantizado, aunque lo sitúa en el orden de 10 elevado a 100.

La pregunta, no obstante, sigue abierta para cualquier valor de p. La demostración no da una solución universal para todos los primos, sino para aquellos que superan esa condición de tamaño.

Para Noga Alon, de Princeton, el desenlace se explica por la colaboración, una nueva generación de investigadores y los métodos probabilísticos. Fan Chung, esposa de Graham, afirmó que él estaría muy feliz de ver resuelto el problema.